ⓘ روش گرادیان مزدوج یا روش گرادیان همیوغ در ریاضیات، الگوریتمی برای حل سیستم معادلات خطی می‌باشد. معادلاتی که ماتریس آنها متقارن و مثبت معین است. این روش از نوع ا ..

                                     

ⓘ روش گرادیان مزدوج

روش گرادیان مزدوج یا روش گرادیان همیوغ در ریاضیات، الگوریتمی برای حل سیستم معادلات خطی می‌باشد. معادلاتی که ماتریس آنها متقارن و مثبت معین است. این روش از نوع الگوریتم‌های تکراری می‌باشد.

                                     

1. روش گرادیان همیوغ به عنوان یک الگوریتم تکراری

r 0:= b − A x 0 p 0:= r 0 k:= 0 repeat α k:= r k T r k p k T A p k x k + 1:= x k + α k p k r k + 1:= r k − α k A p k if r k + 1 is sufficiently small then exit loop β k:= r k + 1 T r k + 1 r k T r k p k + 1:= r k + 1 + β k p k k:= k + 1 end repeat The result is x k + 1 {\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {r} _{0}:=\mathbf {b} -\mathbf {Ax} _{0}\\&\mathbf {p} _{0}:=\mathbf {r} _{0}\\&k:=0\\&{\hbox{repeat}}\\&\qquad \alpha _{k}:={\frac {\mathbf {r} _{k}^{\mathrm {T} }\mathbf {r} _{k}}{\mathbf {p} _{k}^{\mathrm {T} }\mathbf {Ap} _{k}}}\\&\qquad \mathbf {x} _{k+1}:=\mathbf {x} _{k}+\alpha _{k}\mathbf {p} _{k}\\&\qquad \mathbf {r} _{k+1}:=\mathbf {r} _{k}-\alpha _{k}\mathbf {Ap} _{k}\\&\qquad {\hbox{if }}r_{k+1}{\hbox{ is sufficiently small then exit loop}}\\&\qquad \beta _{k}:={\frac {\mathbf {r} _{k+1}^{\mathrm {T} }\mathbf {r} _{k+1}}{\mathbf {r} _{k}^{\mathrm {T} }\mathbf {r} _{k}}}\\&\qquad \mathbf {p} _{k+1}:=\mathbf {r} _{k+1}+\beta _{k}\mathbf {p} _{k}\\&\qquad k:=k+1\\&{\hbox{end repeat}}\\&{\hbox{The result is }}\mathbf {x} _{k+1}\end{aligned}}}