ⓘ روش ژاکوبی. در یک دستگاه مربعی با n معادلۀ خطی: A x = b {\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} } که: A =. {\displaystyle A=D+R\qquad {\text{where}}\qquad D={\ ..

                                     

ⓘ روش ژاکوبی

در یک دستگاه مربعی با n معادلۀ خطی:

A x = b {\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }

که:

A =. {\displaystyle A=D+R\qquad {\text{where}}\qquad D={\begin{bmatrix}a_{11}&0&\cdots &0\\0&a_{22}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}}{\text{ and }}R={\begin{bmatrix}0&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&0&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &0\end{bmatrix}}.}

از روش تکرار جواب را می‌توان به شکل زیر یافت:

x k + 1 = D − 1 b − R x k). {\displaystyle \mathbf {x} ^{k+1}=D^{-1}\mathbf {b} -R\mathbf {x} ^{k}).}

اگر این فرمول را بر اساس المانهایش مرتبط کنیم به این صورت در خواهد آمد:

x i k + 1 = 1 a i b i − ∑ j ≠ i a i j x j k), i = 1, 2, …, n. {\displaystyle x_{i}^{k+1}={\frac {1}{a_{ii}}}\leftb_{i}-\sum _{j\neq i}a_{ij}x_{j}^{k}\right),\quad i=1.2,\ldots,n.}
                                     

1. الگوریتم

حدس اولیه: x 0 {\displaystyle x^{0}} k = 0 {\displaystyle k=0} تا وقتی که همگرا نشده: for i:= 1 step until n do σ = 0 {\displaystyle \sigma =0} for j:= 1 step until n do if j ≠ i then σ = σ + a i j x j k {\displaystyle \sigma =\sigma +a_{ij}x_{j}^{k}} end if پایان حلقه j x i k + 1 = b i − σ a i {\displaystyle x_{i}^{k+1}= end i-loop بررسی همگرایی k = k + 1 {\displaystyle k=k+1}
                                     

2. همگرایی

ρ D − 1 R < 1. {\displaystyle \rho D^{-1}R | a i | > ∑ j ≠ i | a i j |. {\displaystyle \left|a_{ii}\right|> \sum _{j\neq i}{\left|a_{ij}\right|}.}

در روش ژاکوبی گاهی علی‌رغم اینکه شرایط همگرایی برقرار نباشد، جواب همگرا می‌شود.

                                     

3. چند مثال

مثال۱

در A x = b {\displaystyle Ax=b} با داشتن مقدار اولیه حدس اولیه، جواب را بدست می آوریم.

A =. {\displaystyle x={\begin{bmatrix}7.111\\-3.222\end{bmatrix}}.}

مثال۲

فرض کنید معادلات زیر را بخواهیم حل کنیم:

10 x 1 − x 2 + 2 x 3 = 6, − x 1 + 11 x 2 − x 3 + 3 x 4 = 25, 2 x 1 − x 2 + 10 x 3 − x 4 = − 11, 3 x 2 − x 3 + 8 x 4 = 15. {\displaystyle {\begin{aligned}10x_{1}-x_{2}+2x_{3}&=6,\\-x_{1}+11x_{2}-x_{3}+3x_{4}&=25,\\2x_{1}-x_{2}+10x_{3}-x_{4}&=-11,\\3x_{2}-x_{3}+8x_{4}&=15.\end{aligned}}}

با انتخاب 0, 0, 0, 0 به عنوان تقریب اولیه:

x 1 = 6 − 0 − 0 / 10 = 0.6, x 2 = 25 − 0 − 0 / 11 = 25 / 11 = 2.2727 x 3 = − 11 − 0 − 0 / 10 = − 1.1, x 4 = 15 − 0 − 0 / 8 = 1.875. {\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=6-0-0/10=0.6,\\x_{2}&=25-0-0/11=25/11=2.2727\\x_{3}&=-11-0-0/10=-1.1,\\x_{4}&=15-0-0/8=1.875.\end{aligned}}}

پاسخ‌ها پس از ۵ بار تکرار در جدول زیر آورده شده است:

جواب دقیق 1, 2, −1, 1 است.