ⓘ قضیه اقلیدس. قضیهٔ اقلیدس بیان می‌کند که تعداد اعداد اول نامتناهی است. این قضیه به روش‌های مختلفی اثبات شده است. اقلیدس این قضیه را در کتاب اصول اقلیدس اثبات کر ..

                                     

ⓘ قضیه اقلیدس

قضیهٔ اقلیدس بیان می‌کند که تعداد اعداد اول نامتناهی است. این قضیه به روش‌های مختلفی اثبات شده است. اقلیدس این قضیه را در کتاب اصول اقلیدس اثبات کرده است. اثباتی براساس برهان خلف به شرح زیر است:

فرض کنید تعداد اعداد اول متناهی و برابر با n {\displaystyle n} است. این اعداد اول را می‌توان با p 1, p 2, …, p n {\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots,p_{n}} نمایش داد. حال عدد q = p 1 × p 2 × ⋯ × p n + 1 {\displaystyle q=p_{1}\times p_{2}\times \cdots \times p_{n}+1} را در نظر بگیرید. q {\displaystyle q} بر هیچ‌یک از اعداد اول p 1, p 2, …, p n {\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots,p_{n}} بخش‌پذیر نیست و لذا یک عدد اول است. این به این معنی است که n + 1 {\displaystyle n+1} عدد اول داریم و فرض اولیهٔ ما نادرست است و قضیه ثابت می‌شود.