ⓘ فضای برداری نرم‌دار. در ریاضیات، فضای برداری نرم‌دار یا فضای نرم‌دار ، فضایی برداری روی اعداد حقیقی یا مختلط است که برای آن نرم تعریف شده باشد. نرم، صوری سازی و ..

مغز افشاگر

مغز افشاگر عنوانی کتابی است غیرداستانی که در سال ۲۰۱۰ توسط ویلایانور راماچاندران عصب‌پژوه آمریکایی هندی‌تبار نوشته شده است. این کتاب از دیدگاه عصب‌پژوهی یگانگی ذات انسان را بررسی می‌کند.

                                     

ⓘ فضای برداری نرم‌دار

در ریاضیات، فضای برداری نرم‌دار یا فضای نرم‌دار ، فضایی برداری روی اعداد حقیقی یا مختلط است که برای آن نرم تعریف شده باشد. نرم، صوری سازی و تعمیم مفهوم "طول" در جهان واقعی را به فضاهای برداری حقیقی تعمیم می دهد. نرم، تابعی حقیقی-مقدار است که روی فضای برداری عریف شده و اکثراً به صورت x ↦ ‖ x ‖, {\displaystyle x\mapsto \|x\|,} نمایش داده شده و دارای خواص زیر است:

  • روی بردارهای ناصفر، بزرگتر از صفر است: ‖ x ‖ = 0 ⟺ x = 0. {\displaystyle \|x\|=0\Longleftrightarrow x=0.}
  • برای هر بردار x {\displaystyle x} ، و هر اسکالر α {\displaystyle \alpha } داریم: ‖ α x ‖ = | α | ‖ x ‖. {\displaystyle \|\alpha x\|=|\alpha |\|x\|.}
  • نامساوی مثلثی برقرار است، یعنی برای هر دو بردار x, y {\displaystyle x,y} داریم: ‖ x + y ‖ ≤ ‖ x ‖ + ‖ y ‖. {\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.}
  • نامنفی است، یعنی برای هر بردار x {\displaystyle x} داریم ‖ x ‖ ≥ 0 {\displaystyle \|x\|\geq 0}.

برای هر نرم از طریق رابطه زیر یک متر تعریف می شود:

d x, y = ‖ y − x ‖. {\displaystyle dx,y=\|y-x\|.}

که فضای برداری نرم دار را تبدیل به یک فضای متری و یک فضای برداری توپولوژیکی می کند. اگر متر d {\displaystyle d} مذکور کامل باشد، به فضای نرم دار مورد نظر، فضای باناخ می گویند.